Benjamin_Loison/Variable_MLS
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Benjamin Loison
2023-07-04 17:33:35 +00:00
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@@ -1,17 +1,16 @@
\begin{theorem} \begin{theorem}
Le nombre de blocs de la partie stable dans le compressé n'est pas forcément une fonction croissante en la taille de la chaîne Le nombre de blocs distincts de la partie stable dans le compressé n'est pas forcément une fonction croissante en la taille de la chaîne
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{proof}[Sketch] \begin{proof}[Sketch]
Procédons avec un contre-exemple ayant lieu avec une probabilité non-négligeable (supérieure à $\frac{1}{16}$). Cette probabilité vient du fait d'avoir après toute chaîne deux superblocs de niveau 0 puis un de niveau 1.\\ Nous allons exhiber un contre-exemple ayant lieu avec probabilité non négligeable.
Si on considère la chaîne \textit{simplifiée} présentée dans $figs/growth\_property.svg$:
% Note: je suis en train de finir les figures. Sachant que le nombre de blocs distincts de la partie stable du compressé ne peut augmenter au maximum que d'un bloc lors de la compression avec un nouveau bloc d'après l'onliness, on prouve la perte d'au moins 2 blocs distincts dans la partie stable du compressé. Cela permettra donc de prouver la possible diminution du nombre de blocs distincts dans la partie stable du compressé.
\begin{itemize}
\item si on applique la compression jusqu'à la hauteur $n - 1$, on obtient le compressé présenté dans \textit{figs/growth\_property\_height\_n\_minus\_1.svg} En moyenne le $m$-ème dernier bloc du niveau 1 a la même hauteur que le $2m$-ème dernier bloc du niveau 0, donc la probabilité pour que le $m$-ème dernier bloc du niveau 1 soit derrière le $2m$-ème dernier bloc du niveau 0 de 2 blocs de niveau 0 est de $\frac{1}{2}^2$.
C'est-à-dire une partie stable de $q$ blocs distincts.
La probabilité que le bloc de la partie stable que l'on ajoute soit de niveau 1 est de probabilité $\frac{1}{2}$.
\item si on l'applique jusqu'à la hauteur $n$, on obtient le compressé présenté dans \textit{figs/growth\_property\_height\_n.svg}
C'est-à-dire une partie stable de $q - 1$ blocs distincts. On en déduit que ce scénario où ce nouveau 1-superbloc s'ajoute et permet de diminuer d'au moins 1 le nombre de blocs distincts dans la partie stable du compressé a lieu à chaque nouveau bloc avec une probabilité $\frac{1}{2}^2 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}^3$.
\end{itemize}
\end{proof} \end{proof}
@@ -26,7 +25,7 @@
\end{proof} \end{proof}
\begin{corollary} \begin{corollary}
Le niveau de la partie stable dans le compressé est une fonction croissante en la taille de la chaîne. Le niveau de la partie stable dans le compressé est une fonction croissante en la taille de la chaîne.
\end{corollary} \end{corollary}