From ebbf3afa4b58b45f6a950c5cf403157810abf9d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Benjamin Loison <benjamin.loison@orange.fr>
Date: Wed, 28 Jun 2023 15:41:03 +0000
Subject: [PATCH] Update on Overleaf.

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 properties.tex | 42 ++++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 32 insertions(+), 10 deletions(-)

diff --git a/properties.tex b/properties.tex
index dd216bb..987a3ee 100644
--- a/properties.tex
+++ b/properties.tex
@@ -1,22 +1,44 @@
-- le nombre de blocs dans le compressé est une fonction croissante de la taille de la chaîne
-  - Oui, $2m log(|C|)+k$ blocs dans le compressé (MLS)
+\begin{theorem}
+    Le nombre de blocs de la partie stable dans le compressé n'est pas forcément une fonction croissante en la taille de la chaîne
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}[Sketch]
+    %Oui, $2m log(|C|)+k$ blocs dans le compressé (MLS)
+    Evaluation en cours par Loïc d'un contre-exemple proposé par Benjamin.
+\end{proof}
 
 
-- étant donné un compressé C de niveau l, l'ajout d'un bloc b à C donne C' de niveau l' \geq l
-  - Oui, par contruction, si le compressé est de niveau l on a au moins 2m blocs de niveau l.
+\begin{theorem}
+    Etant donné un compressé C de niveau l, l'ajout d'un bloc b à C donne C' de niveau $l' \geq l$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}[Sketch]
+    Oui, par contruction, si le compressé est de niveau l on a au moins 2m blocs de niveau l.
     L'ajout d'un bloc de niveau l' < l ne change pas le nombre de blocs au niveau l dans le compressé qui reste de niveau l.
     Si l' = l, le bloc ajouté remplace le plus vieux bloc de niveau l, ce qui ne change pas le niveau de C.
     Si l' > l, le compressé peut soit rester au niveau l car il n'y a pas au moins 2m blocs au niveau l', soit passer au niveau l'.
+\end{proof}
 
 
-- si un bloc de niveau l est éjecté du niveau l, alors il n'est plus présent du tout dans le compressé
-  - Oui, par construction plus un bloc appartient aussi aux niveaux inférieurs plus la propriété précédente, pour éjecter un bloc de niveau l, il faut un bloc de niveau l' >= l.
+\begin{theorem}
+    Si un bloc de niveau l est éjecté du niveau l, alors il n'est plus présent du tout dans le compressé.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Oui, par construction plus un bloc appartient aussi aux niveaux inférieurs plus la propriété précédente, pour éjecter un bloc de niveau l, il faut un bloc de niveau l' >= l.
+\end{proof}
 
 
-- si un bloc de niveau l est présent dans un niveau l'<l, alors il est présent dans tous les niveaux intermédiaires entre l' et l
-  - Oui, car virer un bloc au niveau l'', l' < l'' < l, nécessite un bloc de niveau >= l''. Comme il faut au moins 2m blocs par niveau, et qu'un bloc au niveau >= l'' compte aussi pour les niveaux inférieurs, il impacte de la même façon les niveaux inférieurs.
+\begin{theorem}
+    Si un bloc de niveau l est présent dans un niveau l'<l, alors il est présent dans tous les niveaux intermédiaires entre l' et l
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Oui, car virer un bloc au niveau l'', l' < l'' < l, nécessite un bloc de niveau >= l''. Comme il faut au moins 2m blocs par niveau, et qu'un bloc au niveau >= l'' compte aussi pour les niveaux inférieurs, il impacte de la même façon les niveaux inférieurs.
+\end{proof}
 
 
-- pour un bloc b de niveau l, pour tout 0 <= i < j <= l, on a pos(i, b) <= pos(j, b)
-
+\begin{theorem}
+    Pour un bloc b de niveau l, pour tout 0 <= i < j <= l, on a pos(i, b) <= pos(j, b)
+\end{theorem}