\begin{theorem}
    Le nombre de blocs de la partie stable dans le compressé n'est pas forcément une fonction croissante en la taille de la chaîne
\end{theorem}
\begin{proof}[Sketch]
    Procédons avec un contre-exemple ayant lieu avec une probabilité non-négligeable (supérieure à $\frac{1}{16}$). Cette probabilité vient du fait d'avoir après toute chaîne deux superblocs de niveau 0 puis un de niveau 1.\\
    Si on considère la chaîne \textit{simplifiée} présentée dans $figs/growth\_property.svg$:
    % Note: je suis en train de finir les figures.
    \begin{itemize}
        \item si on applique la compression jusqu'à la hauteur $n - 1$, on obtient le compressé présenté dans \textit{figs/growth\_property\_height\_n\_minus\_1.svg}
        C'est-à-dire une partie stable de $q$ blocs distincts.
        
        \item si on l'applique jusqu'à la hauteur $n$, on obtient le compressé présenté dans \textit{figs/growth\_property\_height\_n.svg}
        C'est-à-dire une partie stable de $q - 1$ blocs distincts.
    \end{itemize}
\end{proof}


\begin{theorem}\label{thm:block-level}
    Etant donné un compressé C de niveau l, l'ajout d'un bloc b à C donne C' de niveau $l' \geq l$
\end{theorem}
\begin{proof}[Sketch]
    Oui, par contruction, si le compressé est de niveau l on a au moins 2m blocs de niveau l.
    L'ajout d'un bloc de niveau l' < l ne change pas le nombre de blocs au niveau l dans le compressé qui reste de niveau l.
    Si l' = l, le bloc ajouté remplace le plus vieux bloc de niveau l, ce qui ne change pas le niveau de C.
    Si l' > l, le compressé peut soit rester au niveau l car il n'y a pas au moins 2m blocs au niveau l', soit passer au niveau l'.
\end{proof}

\begin{corollary}
    Le niveau  de la partie stable dans le compressé est une fonction croissante en la taille de la chaîne.
\end{corollary}


\begin{theorem}
    Si un bloc de niveau l est éjecté du niveau l, alors il n'est plus présent du tout dans le compressé.
\end{theorem}
\begin{proof}[Sketch]
    Oui, par construction plus un bloc appartient aussi aux niveaux inférieurs plus la propriété précédente, pour éjecter un bloc de niveau l, il faut un bloc de niveau l' >= l.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Si un bloc de niveau l est présent dans un niveau l'<l, alors il est présent dans tous les niveaux intermédiaires entre l' et l.
\end{theorem}
\begin{proof}[Sketch]
    Oui, car virer un bloc au niveau l'', l' < l'' < l, nécessite un bloc de niveau >= l''. Comme il faut au moins 2m blocs par niveau, et qu'un bloc au niveau >= l'' compte aussi pour les niveaux inférieurs, il impacte de la même façon les niveaux inférieurs.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Pour un bloc b de niveau l, pour tout $0 \le i < j \le l$, on a $pos(i, b) \le pos(j, b)$.
\end{theorem}

