\begin{theorem}
    Le nombre de blocs de la partie stable dans le compressé n'est pas forcément une fonction croissante en la taille de la chaîne
\end{theorem}

\begin{proof}[Sketch]
    %Oui, $2m log(|C|)+k$ blocs dans le compressé (MLS)
    Evaluation en cours par Loïc d'un contre-exemple proposé par Benjamin. Loïc m'a fait remarqué que mon contre-exemple arrive avec une probabilité potentiellement négligeable.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Etant donné un compressé C de niveau l, l'ajout d'un bloc b à C donne C' de niveau $l' \geq l$
\end{theorem}

\begin{proof}[Sketch]
    Oui, par contruction, si le compressé est de niveau l on a au moins 2m blocs de niveau l.
    L'ajout d'un bloc de niveau l' < l ne change pas le nombre de blocs au niveau l dans le compressé qui reste de niveau l.
    Si l' = l, le bloc ajouté remplace le plus vieux bloc de niveau l, ce qui ne change pas le niveau de C.
    Si l' > l, le compressé peut soit rester au niveau l car il n'y a pas au moins 2m blocs au niveau l', soit passer au niveau l'.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Si un bloc de niveau l est éjecté du niveau l, alors il n'est plus présent du tout dans le compressé.
\end{theorem}

\begin{proof}
    Oui, par construction plus un bloc appartient aussi aux niveaux inférieurs plus la propriété précédente, pour éjecter un bloc de niveau l, il faut un bloc de niveau l' >= l.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Si un bloc de niveau l est présent dans un niveau l'<l, alors il est présent dans tous les niveaux intermédiaires entre l' et l
\end{theorem}

\begin{proof}
    Oui, car virer un bloc au niveau l'', l' < l'' < l, nécessite un bloc de niveau >= l''. Comme il faut au moins 2m blocs par niveau, et qu'un bloc au niveau >= l'' compte aussi pour les niveaux inférieurs, il impacte de la même façon les niveaux inférieurs.
\end{proof}


\begin{theorem}
    Pour un bloc b de niveau l, pour tout 0 <= i < j <= l, on a pos(i, b) <= pos(j, b)
\end{theorem}

